《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》——西蒙·辛格
简介
《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》是关于一个困惑了世间智者358年的谜题的传奇。书中既有振奋人心的故事讲述方式，也有引人入胜的科学发现的历史。西蒙·辛格讲述了一个英国人，经过数年秘密辛苦的工作，终于解决了最具挑战性的数学问题的艰辛旅程。
评价
艺术的笔触将一些在一般人看来可能是枯燥艰深的数学知识写得通俗易懂、引人入胜而又不失严谨。数学史上的一些伟大英雄栩栩如生地展现在我们面前,358年的数学传承最终凝成了结晶，数学家们也和平常人一样有着自己的命运起伏，我们为谷山志村的高山流水般的友谊兴奋，为天才伽罗瓦英年早逝而感伤，被怀尔斯修正理论的勇气、智慧和耐心所折服，他们不断地经历着失败和成功，而使他们不同凡响名垂史册的则是他们科学上的那种追求卓越、不畏艰险、永不放弃的精神。
摘抄
第一章 “我想我就在这里结束”
任何大学里的数学系在所有的系中都是保密程度最低的，因为那里没有属于专利的发明。数学界为自己能坦率和自由地交流思想而感到自豪。
最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。
从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数。
经典的数学证明的办法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的，逻辑也无缺陷，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。
数学证明依靠这个逻辑过程，而且一经证明就永远是对的。数学证明是绝对的。为了正确地判断这种证明的价值，应该将它们与比其差一些的同类证明，即科学证明做一比较。在科学中，一个假设被提出来用以解释某一物理现象。如果对物理现象的观察结果与这个假设相符，这就成为这个假设成立的证据。进一步，这个假设应该不仅能描述已知的现象，而且能预言其他现象的结果。可以做实验来测试这个假设的预言能力，如果它再次继续成功，那么就有更多的证据支持这个假设。最终，证据的数量可能达到压倒性的程度，于是这个假设被接受为一个科学理论。数学之所以是非自然科学科学，即为数学不满足科学的可证伪性
科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度：它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。所谓的科学证明依赖于观察和理解力，这两者是容易出错的，并且仅仅提供了近似于真理的概念。……科学是按照评判系统来运转的。如果有足够多的证据证明一个理论“摆脱了一切合理的怀疑”，那么这个理论就被认为是对的。在另一方面，数学不依赖于来自容易出错的实验的证据，它立足于不会出错的逻辑。
对物质的基本粒子的探索使得每一代的物理学家被推翻，或者至少是重新推敲他们前辈的理论。近代对构成天地万物的基本材料的研究开始于19世纪初，当时一系列的实验引导约翰·道尔顿（John Dalton）提出万物都是由分离的原子组成的，原子是基本的。在19世纪末，Thomson发现了电子（最早知道的亚原子），于是原子不再是基本的。
通常，数学问题中一半的困难在于理解这问题本身
第二章 出谜的人
- 费马是一个真正的业余学者，一个被埃里克·贝尔称为“业余数学家之王”的人。
但是他的才华是如此出众，以至于当朱利安·库利奇（Julian Coolidge）写《业余大数学家的数学》（Mathematics of Great Amateurs）这本书时将费马排除在外，理由是他“那么杰出，他应该算作专业数学家”。 - 分析概率的才智应该是我们的遗传构成之一，不过我们的直觉常常误导我们。
帕斯卡甚至相信他能用他的理论证明信仰上帝是有理由的。他说：“赌徒在押赌时感受到的刺激等于他可能赢得的钱数乘以他获胜的概率。”然后他论证道：永恒的幸福具有无限的价值，由于生活道德高尚而进入天堂的概率不管怎么小肯定是有限的。于是，按照帕斯卡的定义，宗教是一种有无穷刺激的游戏，一个值得参与的游戏，因为无限的奖励乘以一个有限的概率其结果是无穷大。
第三章 数学史上暗淡的一页
逻辑是数学家用来使他的思想保持健康有力的保健法。
一个天文学家、一个物理学家和一个数学家（据说）正在苏格兰度假。当他们从火车车厢的窗口向外瞭望时，观察到田地中央有一只黑色的羊。“多么有趣，”天文学家评论道，“所有的苏格兰羊都是黑色的！”物理学家对此反驳说：“不，不！某些苏格兰羊是黑色的！”数学家祈求地凝视着天空，然后吟诵起来：“在苏格兰至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。”
(希尔伯特计划)是在那个时代最杰出的人物大卫·希尔伯特领导下进行的。希尔伯特相信，数学中的一切能够而且也应该根据基本的公理加以证明。这样做的结果，最终将是要证明数学体系中的两个最重要的基本要求。首先，数学应该（至少在理论上）有能力回答每一个问题——这与对完全性的要求是相同的，这种要求在过去曾迫使数学家创造出像负数和虚数这样的新的数。其次，数学不应该有不相容性——那就是说，如果用一种方法证明了某个命题是对的，那么就不可能用另一种方法证明这同一命题是错的。希尔伯特确信，只需承认少数几个公理，就可以回答任何想象得到的数学问题而无须担心会出现矛盾。
希尔伯特想要激励数学界来帮助他实现他的建立可信的并且相容的数学体系的梦想——他铭刻在他的墓碑上的雄心壮志： Wir müssen wissen. Wir werden wissen. 我们必须知道，我们将会知道。
就在这同时，也在为希尔伯特的伟大计划作努力的英国逻辑学家伯特兰·罗素却有了一个毁灭性的发现。尽管遵循着希尔伯特的严格规定，罗素还是碰到了一种不相容性。图书管理员发现一个问题：列出所有不将自己列在其中的目录册的那个大目录册是否应该在本身中列出？如果列出的话，那么按照定义，它不应该被列出。然而，如果不列出的话，那么按照定义，它应该被列出。图书管理员处于无论怎么做都不会对的情况。罗素的工作动摇了数学的基础，使数理逻辑的研究处于混乱的状态。逻辑学家们知道潜藏在数学基础中的悖论迟早总会冒头并且引起严重的问题。与希尔伯特和其他逻辑学家一起，罗素开始设法补救这种情形，恢复数学的合理性。
(哥德尔不完备定理)哥德尔证明了要想创立一个完全的、相容的数学体系是一件不可能做到的事情。他的思想可以浓缩为两个命题，即：第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。 第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。
杰出的数论家安德烈·韦依（AndréWeil）说：“上帝之存在是因为数学是相容的，而魔王之存在是因为我们不能证明数学是相容的。”
数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。激励数学家们的是因发现而得到的乐趣，解答某个数学问题的欲望多半是出于好奇，而回报则是因解决了难题而获得的单纯而又巨大的满足感。
我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。
第五章 反证法
- 数学家的模式，像画家或诗人的一样，必须是美的；各种思想，像色彩或辞藻一样，必须以和谐的方式组合在一起。美是首要的标准，丑陋的数学不可能永世长存。
- （朗兰兹纲领）20世纪60年代，普林斯顿高等研究院的罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）被谷山-志村猜想所具有的潜力吸引。尽管这个猜想尚未被证明，朗兰兹相信它只不过是一个更为宏伟得多的统一化计划中的一个环节。他确信在所有主要的数学课题之间存在连接的链环，并开始寻找这些统一的链环。几年之后，许多链环开始涌现出来。所有的这些统一化猜想比谷山-志村猜想要弱得多，并且更为不确定，但是它们形成了由存在于许多数学领域之间的假设性联系组成的一个错综复杂的网络。朗兰兹的梦想是看到这些猜想一个接一个地被证明，最终形成一个宏伟的统一的数学。
朗兰兹详述了他未来的计划，并试图说服其他数学家参加到他这个被称为朗兰兹纲领（Langlands programme）的计划之中，齐心协力来证明他的猜想金字塔。似乎没有明确的方法来证明这种不确定的链环，但是如果这个梦想成为现实的话，那么其回报将是巨大无比的：在某个数学领域中无法解答的任何问题，却可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天数学家们将能够解决他们的最深奥、最难对付的问题，办法是带着这些问题周游数学王国的各个风景胜地。
到了70年代，朗兰兹纲领已经成了对数学的未来的一份蓝图，但这条通向问题解答者的天堂的道路却被一个简单的事实所阻挡，即对于如何证明朗兰兹的任何一个猜想还没有人有任何切实可行的想法。这个纲领中最强有力的猜想仍然是谷山-志村猜想，但即使是对它，似乎也无法证明。谷山-志村猜想的证明将会是实现朗兰兹纲领的第一步，正因为如此，它成了现代数论中最有价值的猜想之一。
尽管还是个未被证明的猜想，谷山-志村猜想依然成百次地在数学论文中被提到，这些论文探究如果它被证明那么会出现些什么结果。这些论文会以一段清楚的防止误解的说明“假定谷山-志村猜想是对的……”开始，然后接下去概要叙述对某个未解决问题的解答。当然，这些结果本身也只能是假设性的，因为它们依赖于谷山-志村猜想是对的这个前提。这些新的假设性的结果反过来又被组合进别的结果中，最后形成了大量的依赖于谷山-志村猜想的正确性的数学。这一猜想于是成了一幢新的数学大厦的基石，但是在这一猜想被证明之前这幢大厦是极其脆弱的。
第六章 秘密的计算
一个高超的问题解答者必须具备两种不协调的素质—— 永不安分的想象和极具耐心的执拗。
——霍华德·W.伊夫斯（埃瓦里斯特·伽罗瓦，群论创始者，数学思想不被理解，后期从政，死于决斗）他最担心的一件事是，他的已被科学院拒绝过的研究成果会永远消失。他彻夜工作，写出了所有的定理，绝望地试图使它们得到承认，他相信这些定理全面地阐明了有关五次方程的疑难之处。
当伽罗瓦绝望地试图在致命时刻（必死的决斗到来之前）到来之前把一切都写下来时，曾出现过担心自己可能来不及完成这项任务的念头。在这一页的左下部分的两行的末端可以看到 ‘je n’ ai pas le temps’ （我没有时间了） 的字样。
一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学才只有5年。
第八章 大统一数学
在怀尔斯经受严峻考验的8年中，他实际上汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个万能的证明。他创造了全新的数学技术，并将它们和传统的技术以人们从未考虑过的方式结合起来。通过这样的做法，他开辟了处理为数众多的其他问题的新思路。按照肯·里贝特的说法，这个证明是现代数学的完美综合，并将对未来产生影响
补充哥德巴赫猜想：哥德巴赫问欧拉是否他能证明每个偶数可以分解成两个质数之和中国数学家陈景润于1966年证明了“每个大偶数都是一个质数及一个不超过两个质数的乘积之和”，这是迄今在哥德巴赫猜想方面最好的结果。